Решта, коли x ^ (2011) ділиться на x ^ 2 -3x + 2, це?

Відповідь:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Пояснення:

Напівпростий спосіб побачити це полягає в тому, щоб почати ділення виразу за допомогою Long Division. Напишіть дивіденд (під символом поділу) з нулями як

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

Ми не потребуватимемо всіх термінів для того, щоб помітити закономірність.

Починаючи ділення, ви побачите, що перший член має коефіцієнт 1, другий має коефіцієнт 3, третій має коефіцієнт 7, потім 15, потім 31 і т.д.

Ці номери мають форму # 2 ^ m - 1 #.

Залишок з'явиться після того, як ви поділилися через все, що складається з # 2011 ^ (th) # і # 2012 ^ (th) # термінів.

Перший термін у частковому буде слідувати тій же схемі, що має #2^2011-1# як її коефіцієнт. Останній коефіцієнт один менше #2^2011-1# -- Це є #2^2011 - 2#або #2(2^2010 - 1)#.

Така ж картина справедлива для кожного поділу форми

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, де #m> = 3 #.

Ви також можете помітити це # x ^ 2011 - 1 # є кратною #x - 1 #, що скасувало б чинник у знаменнику.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

де #Q (x) # є #2009# ступінь поліном і # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Тепер ми знаємо

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Рішення для # a, b # ми отримуємо

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # і потім

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # що є рештою.