Яка ймовірність перемоги в наступній нескінченно повторюваній грі?

Відповідь:

# "Відповідь D" "#

Пояснення:

# "Це єдина логічна відповідь, інші неможливі".

# "Це проблема руйнування гравця".

# "Гравець починає з k долара" #

# "Він грає до тих пір, поки він не досягне G долара або не впаде назад до 0".

#p = "шанс, що він виграє 1 долар в одній грі."

#q = 1 - p = "шанс, що він програє 1 долар в одній грі."

# "Викличте" r_k "ймовірність (шанс), що він буде зруйнований" #.

# "Тоді ми маємо" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "з" 1 <= k <= G-1 #

# "Ми можемо переписати це рівняння через p + q = 1 таким чином:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Тепер тут маємо випадок" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Для" r_k "ми маємо" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Отже гравець A починає тут з k = доларом і грає до" #

# "він руйнується або має + b долар" #

# => k = a, "і" G = a + b #

# "Таким чином, шанси, що він зруйнується, є" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Шанси, що він виграє" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Відповідь D" "#