Як використовувати біноміальні ряди для розширення sqrt (1 + x)?

Відповідь:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = сума (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # с #x у CC #

Використовуйте узагальнення біноміальної формули до комплексних чисел.

Пояснення:

Існує узагальнення біноміальної формули до комплексних чисел.

Здається, загальна формула біномінальної серії # (1 + z) ^ r = сума ((r) _k) / (k!) Z ^ k # с # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (за даними Вікіпедії). Давайте застосуємо його до вашого виразу.

Це потужний ряд так очевидно, якщо ми хочемо мати шанси, що це не розходиться, ми повинні встановити #absx <1 # і це, як ви розширюєтеся #sqrt (1 + x) # з біноміальними рядами.

Я не збираюся демонструвати формулу вірно, але це не надто важко, потрібно просто побачити, що комплексна функція визначається # (1 + z) ^ r # є голоморфним на одиничному диску, обчислити кожну його похідну в точці 0, і це дасть вам формулу Тейлора функції, що означає, що ви можете розробити її як силовий ряд на одиничному диску, оскільки #absz <1 #, отже, результат.

Як використовувати біноміальні ряди для розширення (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 Розширення біноміального ряду для (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 задається: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Отже, маємо: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Чому ми повинні використовувати "комбінації n речей, взятих x за раз", коли ми обчислюємо біноміальні ймовірності?

Дивіться нижче про мої думки: Загальна форма для біноміальної ймовірності: sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (nk)) Питання: нам потрібен перший термін, комбінований термін? Давайте працюватимемо на прикладі, а потім зрозуміємо. Давайте розглянемо біноміальну ймовірність перевертати монету 3 рази. Давайте встановимо, що голови будуть p і не отримувати голови ~ p (обидва = 1/2). Коли ми проходимо процес підсумовування, 4 умови підсумовування будуть дорівнювати 1 (по суті, ми знаходимо всі можливі результати і тому ймовірність всіх результатів підсумовується дорівнює 1): sum_ (k = 0) ^ ( 3) = колір (червоний) (C_

Як використовувати binomial series для розширення sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Я дуже хотів би подвійну перевірку, тому що як студент-фізик я рідко вийти за межі (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx для малих x, тому я трохи іржавий. Біноміальна серія - це спеціалізований випадок біноміальної теореми, в якому (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k З ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Що ми маємо (z ^ 2-1) ^ (1/2) , це не правильна форма. Щоб виправити це, нагадаємо, що i ^ 2 = -1, то ми маємо: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) тепер у правильній формі з x = -z ^ 2 Тому розширення буде: i [1 -1 / 2z ^ 2 + (1/