Як використовувати binomial series для розширення sqrt (z ^ 2-1)?

Відповідь:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Пояснення:

Я дуже хотів би подвійну перевірку, тому що, як студент-фізик, я рідко потрапляю за межі # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # для маленьких x, так що я трохи іржавий. Біноміальна серія - це спеціалізований випадок біноміальної теореми, який стверджує, що

# (1 + x) ^ n = сума_ (k = 0) ^ (оо) ((n), (k)) x ^ k #

С # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Що у нас є # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, це не правильна форма. Щоб виправити це, згадайте про це # i ^ 2 = -1 # тому ми маємо:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Це зараз у правильній формі #x = -z ^ 2 #

Тому розширення буде:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Як використовувати Binomial Theorem для розширення (x + 1) ^ 4?

X ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 Положення біноміальної теореми: (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 так тут a = x і b = 1 Отримуємо: (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 (1) ^ 2 + 4x (1) ^ 3 + (1) ^ 4 (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1

Як використовувати біноміальні ряди для розширення sqrt (1 + x)?

Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = сума (1 // 2) _k / (k!) x ^ k з x в CC Використовуйте узагальнення біноміальної формули до складних чисел. Існує узагальнення біноміальної формули до комплексних чисел. Формула загального біноміального ряду представляється (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) Z ^ k з (r) _k = r (r-1) (r-2). (r-k + 1) (згідно з Вікіпедією). Давайте застосуємо його до вашого виразу. Це потужний ряд так, очевидно, якщо ми хочемо мати шанси, що це не розходиться, нам потрібно встановити absx <1 і це, як ви розширюєте sqrt (1 + x) з біноміальними рядами. Я не збираюся демонструвати формулу вірно, але це не надто

Як використовувати Binomial Theorem для розширення (x-5) ^ 5?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) a ^ (nr) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) a ^ (nr) (bx) ^ r (-5+) x) ^ 5 = sum_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (- 5) ^ (5-r) x ^ r (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! (5-0)!) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1! (5-1)!) (- 5) ^ ( 5-1) x ^ 1 + (5!) / (2! (5-2)!) (- 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5!) / (3! (5-3)) !) (- 5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5!) / (4! (5-4)!) (- 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5!) / (5! (5-5)!) (- 5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1! 4!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2! 3!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / (3! 2