Як ви можете довести розподіл Пуассона?

Відповідь:

# "Переглянути пояснення" #

Пояснення:

# "Ми беремо період часу з довжиною" t ", що складається з n частин" # #

#Delta t = t / n ". Припустимо, що шанс на успішну подію" # #

# "в одній частині" p ", тоді загальна кількість подій у n" #

# "Частини часу розподілені біноміальними відповідно до" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "з" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(комбінації)" #

# "Тепер ми дозволяємо" #

# n-> oo ", так" p-> 0, "але" n * p = lambda #

# "Таким чином ми замінюємо" p = lambda / n "у" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (лямбда / n) ^ x (1-лямбда / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-лямбда / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-лямбда / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-лямбда / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-лямбда) / n)) ^ x #

# "для" n -> oo ", що знаходиться між …" -> 1 "і" # "

# (1 - лямбда / n) ^ n -> e ^ -lambda "(межа Ейлера)" #

# "тому ми отримуємо" #

#p_x (x) = (лямбда ^ х е ^ -ламбда) / (х!), х = 0,1,2, …, оо #