Доведіть, що потужність є полем?

Відповідь:

Сила множини є комутативним кільцем при природних операціях об'єднання і перетину, але не поля в цих операціях, оскільки в ньому відсутні обернені елементи.

Пояснення:

З урахуванням будь-якого набору # S #, розгляньте комплект живлення # 2 ^ S # з # S #.

Це має природні операції союзу # uu # яка веде себе як доповнення, з ідентичністю # O / # і перехрестя # nn # яка веде себе як множення з ідентичністю # S #.

Більш докладно:

• # 2 ^ S # закрито на # uu #

  Якщо #A, B у 2 ^ S # потім #A uu B у 2 ^ S #

• Є ідентичність # O / у 2 ^ S # для # uu #

  Якщо #A у 2 ^ S # потім #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # є асоціативним

  Якщо #A, B, C у 2 ^ S # потім #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # є комутативним

  Якщо #A, B у 2 ^ S # потім #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # закрито на # nn #

  Якщо #A, B у 2 ^ S # потім #A nn B у 2 ^ S #

• Є ідентичність #S у 2 ^ S # для # nn #

  Якщо #A у 2 ^ S # потім #A nn S = S nn A = A #

• # nn # є асоціативним

  Якщо #A, B, C у 2 ^ S # потім #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # є комутативним

  Якщо #A, B у 2 ^ S # потім #A nn B = B nn A #

• # nn # лівий і правий розподільний # uu #

  Якщо #A, B у 2 ^ S # потім #A nn (Buu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  і # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Тому # 2 ^ S # задовольняє всім аксіом, необхідним для того, щоб бути комутативним кільцем з додаванням # uu # і множення # nn #.

Якщо #S = O / # потім # 2 ^ S # має один елемент, а саме # O / #Таким чином, вона не має чітких аддитивних і мультиплікативних ідентичностей і тому не є полем.

Інакше зазначте, що # S # не має зворотного під # uu # і # O / # не має зворотного під # nn #. Тому # 2 ^ S # не утворює поля через відсутність зворотних елементів.