Два кута трикутника мають кути (3 pi) / 8 і pi / 8. Якщо одна сторона трикутника має довжину 3, то який найдовший периметр трикутника?

Спочатку відзначимо, що якщо два кути # alpha = pi / 8 # і # beta = (3pi) / 8 #, так як сума внутрішніх кутів трикутника завжди # pi # третій кут: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, так що це правильний трикутник.

Щоб максимізувати периметр, відома сторона повинна бути коротше катету, тому вона буде навпаки найменшого кута, який # alpha #.

Гіпотенуза трикутника буде:

# c = a / sin alpha = 3 / sin (pi / 8) #

де #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

а другий - це:

#b = a / tan (pi / 8) #

де #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Нарешті:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #