1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? вирішити це

Відповідь:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2

Пояснення:

Розваги. Я не знаю, як зробити це однозначно, тому ми просто спробуємо деякі речі.

Там, здається, не доповнюють або додаткові кути явно в грі, так що, можливо, наш найкращий крок, щоб почати з подвійною формулою кута.

#cos 2 тета = 2 cos ^ 2 тета - 1 #

# cos ^ 2 тета = 1/2 (1 + cos 2 тета) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Тепер ми замінюємо кути котермінальними (ті, що мають однакові функції тригерів), віднімаючи # 2 пі.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2pi))) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Тепер ми замінюємо кути додатковими кутами, що зводить нанівець косинус. Ми скидаємо знак мінус у косинусному аргументі, який не змінює косинус.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Відповідь:

#2#

Пояснення:

Ми знаємо це, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => колір (червоний) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

Тому, #color (червоний) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … до (1) #

#and cos ((3pi) / 2 + тета) = sintheta => колір (синій) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + тета) = гріх ^ 2тета #

# => колір (синій) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … до (2) #

Використання # (1) та (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + колір (червоний) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + колір (синій) (cos ^ 2 (37π) / 24) #

# = cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + колір (червоний) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + колір (синій) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … до як, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#