Що таке вершина, фокус і directrix y = 3x ^ 2 + 8x + 17?

Відповідь:

Вершина $color (синій) (= -8/6, 35/3)$

Фокус $color (синій) (= -8/6, 35/3 + 1/12)$

Directrix $color (синій) (y = 35 / 3-1 / 12 або y = 11.58333)$

Позначений графік також доступний

Пояснення:

Нам дають квадратична

$color (червоний) (y = 3x ^ 2 + 8x + 17)$

Коефіцієнт $x ^ 2$ термін є більше, ніж нуль

Отже, наші Парабола відкривається і ми також матимемо Вертикальна вісь симетрії

Нам потрібно довести нашу квадратичну функцію до форми, наведеної нижче:

$color (зелений) (4P (y-k) = (x - h) ^ 2)$

Розглянемо

$y = 3x ^ 2 + 8x + 17$

Зверніть увагу, що ми повинні зберегти обидва $color (червоний) (x ^ 2)$ і $color (червоний) x$ термін з одного боку і тримати обидва $color (зелений) (y)$ і постійний термін з іншого боку.

Щоб знайти Вершина, ми будемо Завершіть площу на x

$rArr y -17 = 3x ^ 2 + 8x$

Розділіть кожен окремий термін на $3$ отримати

$rArr y / 3 -17/3 = (3/3) x ^ 2 + (8/3) x$

$rArr y / 3 -17/3 = x ^ 2 + (8/3) x$

$rArr y / 3 -17/3 + колір (синій) квадрат = x ^ 2 + (8/3) x + колір (синій) квадратний$

Яке значення переходить до $color (синій) (синій квадрат)$ ?

Розділіть коефіцієнт х.терм від $2$ і Площа.

Відповідь переходить до $color (синій) (синій квадрат)$ .

$rArr y / 3 -17/3 + колір (синій) (16/9) = x ^ 2 + (8/3) x + колір (синій) (16/9)$

$rArr (1/3) y -17/3 + (16/9) = x ^ 2 + (8/3) x + (16/9)$

$rArr (1/3) y - (51 + 16) / 9 = x ^ 2 + (8/3) x + (16/9)$

$rArr (1/3) y -35/9 = x ^ 2 + (8/3) x + (16/9)$

$rArr (1/3) y -35/9 = x + (8/6) ^ 2$

Фактор $1/3$ на Ліва сторона (LHS) отримати

$rArr (1/3) y -35/3 = x + (8/6) ^ 2$

Ми можемо переписати, щоб довести її до потрібної форми:

$color (зелений) (4P (y-k) = (x - h) ^ 2)$

$rArr (1/3) y -35/3 = x - (-8/6) ^ 2$

Whered

$4P = 1/3$

$k = 35/3$

$h = -8 / 6$

Отже, наші Вершина буде

Вершина $(h, k) = {(-8/6), (35/3)}$

Використання $4P = 1/3$ , ми отримуємо

$P = 1/3 * 1/4 = 1/12$

Отже, $P = 1/12$

Фокус завжди на Вісь симетрії

Фокус є також всередині параболи

Фокус буде мати те ж саме x.Value як вершина тому що він лежить на Вісь симетрії

The Вісь симетрії знаходиться на $x = -8 / 6$

The Directrix є завжди Перпендикулярний до Вісь симетрії

The Значення P говорить нам як далеко Фокус від Вершина

The Значення P також розповідає нам як далеко Directrix є від Вершина

Оскільки ми знаємо це $P = 1/12$ , Фокус є $1/12$ або $0.83333$ віддалені від Вершина

Наші Фокус є також $0.83333$ віддалені від Вершина і лежить на Вісь симетрії

Також, Фокус є всередині нашої параболи.

Отже, Розташування Фокусу дається

Фокус $color (синій) (= -8/6, 35/3 + 1/12)$

Directrix є завжди Перпендикулярно осі симетрії

$color (синій) (y = 35 / 3-1 / 12 або y = 11.58333)$ є необхідне рівняння Directrix а також лежить на осі симетрії

Перегляньте графік нижче:

A графік наведені нижче з кількома проміжними розрахунками показують на ньому також може бути корисним