Знаходження (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) за допомогою доповнених формул?

Відповідь:

Це правильно, за винятком (ii) перевернуто. #tan (A + B) # має бути #4/3# як #sin (A + B) = 4/5 і #cos (A + B) = 3/5.

Пояснення:

Розваги. Дано #cos (A + B) = 3/5 quad і quad cos A cos B = 7/10 #

Давайте розглянемо відповідні ідентичності.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 квад # вибір (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = 4/5

# A # і # B # гострі, # A + B <180 ^ circ # так позитивний синус:

#sin (A + B) = 4/5

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 квад # ЖОДЕН З ПЕРЕРАХОВАНИХ ВИЩЕ

Одну формулу подвійного кута #cos (2x) = 1-2 гріх ^ 2 x # тому

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

Середнє значення # A # і # B # є гострим, тому ми вибираємо позитивний знак.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # вибір (iii)

Один з трьох неправильний, B-.

Відповідь:

Будь ласка, зверніться до Розділ пояснення.

Пояснення:

З огляду на це #cos (A + B) = 3/5.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Отже, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (i) #.

Враховуючи це, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Додавання, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) у Q_1uuQ_2 #.

Але, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) у Q_1 #.

Тепер, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. гріх (A + B) = + - 4/5; "але, оскільки" (A + B) у Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (ii) #.

Нарешті, знайти #sin ((A + B) / 2), "let" (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5.

# "Тепер", cos2theta = 3/5 rArr cos (тета + тета) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … тому що, "Формула додавання" #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, тобто #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5, або, #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

З, # (A + B) = 2тета # полягає в # Q_1, "так робить" тета = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.