Вирішити сокиру ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Відповідь:

Швидкий ескіз …

Пояснення:

Дано:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # с #a! = 0 #

Це стає брудним досить швидко, так що я просто дам ескіз одного методу …

Помножте на # 256a ^ 3 # і замінити #t = (4ax + b) # отримати депресивний монічний квант у вигляді:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Зверніть увагу на те, що оскільки цей термін не має терміну # t ^ 3 #, він повинен враховувати форму:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (білий) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Прирівнюючи коефіцієнти і переставляючи трохи, ми маємо:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Тому ми знаходимо:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (білий) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (білий) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Розмножуючись, множачи на # A ^ 2 # і злегка переставляючи, це стає:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Це "кубічний дюйм" # A ^ 2 #"має принаймні один реальний корінь. В ідеалі він має позитивний реальний корінь, який дає дві можливі реальні значення для # A #. Незважаючи на це, кожен кубічний корінь буде робити.

З огляду на значення # A #, ми маємо:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Тому ми вирішуємо дві квадратики.