Як довести: secx - cosx = sinx tanx?

Використовуючи визначення # secx # і # tanx #разом з ідентичністю

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, ми маємо

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Відповідь:

Спочатку перетворимо всі терміни на # sinx # і # cosx #.

Друге застосовується правилами фракції фракцій до LHS.

Нарешті, ми застосовуємо піфагорейську ідентичність: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Пояснення:

Спочатку в питаннях цих форм хороша ідея перетворити всі терміни в синус і косинус: так, замінити #tan x # с #sin x / cos x #

і замінити #sec x # с # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # стає # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # стає #sin x sin x / cos x # або # sin ^ 2 x / cos x #.

Тепер ми застосовуємо правила фракції фракцій до LHS, створюючи загальну базу (подібно до кількості дробів) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x-cos x => 1 / cos x-cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Нарешті, ми застосовуємо піфагорейську ідентичність: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (одна з найбільш корисних ідентичностей для цих типів проблем).

Переставляючи його, ми отримуємо # 1 cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Ми замінюємо # 1- cos ^ 2 x # в LHS з # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # яка дорівнює модифікованому RHS.

Таким чином, LHS = RHS Q.E.D.

Зауважимо, що ця загальна закономірність отримання речей у терміни синус і косинус, використовуючи правила фракцій і піфагорійську ідентичність, часто вирішує ці типи питань.

Якщо ми так бажаємо, ми можемо також змінити праву частину, щоб відповідати лівій стороні.

Ми повинні писати # sinxtanx # з точки зору # sinx # і # cosx #, використовуючи ідентичність #color (червоний) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2 x / cosx #

Тепер ми використовуємо піфагорейську ідентичність, яка є # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Ми можемо змінити це для вирішення # sin ^ 2x #, тому: #color (червоний) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Тепер просто розділіть чисельник:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Використовуйте взаємну ідентичність #color (червоний) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Відповідь:

Це дійсно так просто …

Пояснення:

Використання ідентичності # tanx = sinx / cosx #, помножте # sinx # на ідентифікатор, щоб отримати:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Потім помножте # cosx # через рівняння:

# 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2x #

Враховуючи це # secx # є зворотним # cosx #.

Нарешті, використовуючи тригонометричну ідентичність # 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2x #остаточна відповідь:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #