Як знайти біноміальне розширення для (2x + 3) ^ 3?

Відповідь:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Пояснення:

З трикутником Паскаля легко знайти кожне біноміальне розширення:

Кожен термін цього трикутника є результатом суми двох термінів у верхньому рядку. (приклад червоним кольором)

#1#

#1. 1#

#color (синій) (1. 2. 1) #

# 1. колір (червоний) 3. колір (червоний) 3. 1 #

# 1. 4. колір (червоний) 6. 4. 1 #

…

Більше того, кожен рядок має інформацію про одне біноміальне розширення:

Перша лінія, для харчування #0#

Другий, для влади #1#

Третій, для влади #2#…

Наприклад: # (a + b) ^ 2 # ми будемо використовувати третій рядок синім кольором після цього розширення:

# (a + b) ^ 2 = колір (синій) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + колір (синій) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + колір (синій) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Потім: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

До влади #3#:

# (a + b) ^ 3 = колір (зелений) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + колір (зелений) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + колір (зелений) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + колір (зелений) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Потім # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Отже, у нас є #color (червоний) (a = 2x) # і #color (синій) (b = 3) #:

І # (2x + 3) ^ 3 = колір (червоний) ((2x)) ^ 3 + 3 * колір (червоний) ((2x)) ^ 2 * колір (синій) колір 3 + 3 * (червоний) ((2x)) * колір (синій) 3 ^ 2 + колір (синій) 3 ^ 3 #

Тому: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Відповідь:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Пояснення:

# (2x + 3) ^ 3 #

Використовуйте куб методу суми, в якому # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x; # # b = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #