Три стрижня, кожна з яких має масу М і довжину L, з'єднуються між собою, утворюючи рівносторонній трикутник. Який момент інерції системи про осі, що проходить через його центр мас і перпендикулярно площині трикутника?

Відповідь:

# 1/2 ML ^ 2 #

Пояснення:

Момент інерції одного стрижня навколо осі, що проходить через її центр і перпендикулярний їй, є

# 1/12 ML ^ 2 #

Кожна сторона рівностороннього трикутника навколо осі, що проходить через центр трикутника і перпендикулярна його площині

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 МЛ ^ 2 #

(по теоремі паралельної осі).

Тоді момент інерції трикутника навколо цієї осі

# 3 разів 1/6 МЛ ^ 2 = 1/2 МЛ ^ 2 #

Припускаючи, що стрижні повинні бути тонкими, положення центру маси кожного стрижня знаходиться в центрі стрижня. Оскільки стрижні утворюють рівносторонній трикутник, центр маси системи буде на центроїді трикутника.

Дозволяє # d # відстань від центроїда від будь-якої з сторін.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

Момент інерції одного стрижня навколо осі, що проходить через центроїд, перпендикулярний площині трикутника, використовуючи паралельну вісь терора

#I_ "стрижень" = I_ "см" + Md ^ 2 #

Є три аналогічно розташованих стрижня, тому загальний момент інерції трьох стрижнів буде

#I_ "system" = 3 (I_ "см" + Md ^ 2) #

# => I_ "system" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Другий термін з використанням (1) є

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Як момент інерції одного стрижня про його центр мас

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

Перший член в (2) стає

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

За допомогою (3) і (4) стає рівняння (2)

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2