Трикутник має вершини A (a, b), C (c, d) і O (0, 0). Яке рівняння і область описаного кола трикутника?

Відповідь:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) де

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Пояснення:

Узагальнив питання; давайте подивимося, як це відбувається. Я залишив одну вершину на початку, що робить його трохи менш брудним, і довільний трикутник легко переводиться.

Трикутник, звичайно, абсолютно несуттєвий до цієї проблеми. Обмежена окружність - це коло через три точки, які є трьома вершинами. Трикутник робить дивовижний вигляд у вирішенні.

Деяка термінологія: описане коло називається трикутником кола і його центр трикутника окружність.

Загальне рівняння для кола з центром # (p, q) # і радіус квадрата # s # є

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

і область кола #A = pi s. #

У нас є три невідомі # p, q, s # і ми знаємо три точки, тому отримуємо три рівняння:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # тому що походження знаходиться на колі.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Розберемо одночасні рівняння. Давайте перетворимо їх на дві лінійні рівняння, розширюючи і віднімаючи пари, що дорівнює втраті # p ^ 2 + q ^ 2 # ліворуч і # s # праворуч.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Віднімання, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Аналогічно

# 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Це два рівняння в двох невідомих. # AX = K # має рішення # X = A ^ {- 1} K. # Я пам'ятаю дві матриці інверсії, які я не знаю, як форматувати, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Для нас це означає

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

і квадратний радіус

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^) 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

тому область # pi # часів цієї суми.

Ми можемо бачити, що вираз стає більш симетричним, якщо розглядати, що відбувається для довільного трикутника # (A, B), (C, D), (E, F). Ми ставимо # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # але зараз я не зможу це зробити.

Відзначу чисельник # s # - твір трьох квадратів довжин сторін трикутника і знаменника # s # є шістнадцять разів площа квадрата трикутника.

У Rational Trigonometry називаються квадратні довжини чотирикутників і шістнадцять разів площа площі називається quadrea. Знайдено, що квадранта радіуса окружності є твором квадратиків трикутника, розділених його квадраерою.

Якщо нам просто потрібний радіус або область кола, то можна підсумувати результат тут:

Квадратний радіус окружності - це результат квадрата довжини трикутника, розділеного на шістнадцять разів площею квадрата трикутника.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #