Питання 27939

Відповідь:

Як зазначив Судіп Сінха # -1 + sqrt3i # НЕ є нулем. (Я нехтував перевірити це.) Інші нулі # 1-sqrt3 i # і #1#.

Пояснення:

Оскільки всі коефіцієнти є дійсними числами, будь-які уявні нулі повинні відбуватися в сполучених парах.

Тому, # 1-sqrt3 i # є нулем.

Якщо # c # є нулем тоді # z-c # є фактором, щоб ми могли розмножуватися

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # отримати # z ^ 2-2z + 4 #

а потім розділити #P (z) # цим квадратичним.

Але швидше розглянути можливий раціональний нуль для # P # спочатку. Або додайте коефіцієнти, щоб побачити це #1# також є нулем.

Відповідь:

#1# і # 1 - sqrt3 i #

Пояснення:

У вашому запиті виникла помилка. Корінь повинен бути # 1 + sqrt3 i #. Ви можете перевірити це, ввівши значення у вираз. Якщо це корінь, вираз повинен оцінюватися до нуля.

Вираз має всі реальні коефіцієнти, тому теоремою Комплексного спряженого кореня (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) ми маємо, що інший складний корінь є # 1 - sqrt3 i #, Зрозуміло, третій корінь (скажімо # a #) має бути реальним, оскільки не може мати складного спряженого; інакше буде 4 корені, що неможливо для рівняння 3-го ступеня.

Примітка

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (З # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Ми спробуємо отримати цей фактор у виразі.

Ми можемо написати:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Відповідь:

Як інтро, я думаю, що корінь повинен бути #color (синій) (1 + sqrt3) # і ні #color (червоний) (- 1 + sqrt3) #

На цій основі моя відповідь:

#z у {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Пояснення:

Використовуючи ідею складні кон'югати і деякі інші круті трюки.

#P (z) # є поліномом ступеня #3#. Це означає, що воно має лише мати #3# коріння.

Один цікавий факт про складні коріння полягає в тому, що вони ніколи не зустрічаються самостійно сполучені пари.

Так якщо # 1 + isqrt3 # є один корінь, потім його сполучений: # 1-isqrt3 # безумовно, корінь теж!

А оскільки залишилося лише один кореневий пункт, ми можемо назвати цей корень # z = a #.

Це не складне число, тому що складні коріння завжди відбуваються парами.

А оскільки це останній з #3# коріння, після першої не може бути жодної іншої пари!

Зрештою, фактори #P (z) # легко було виявлено # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "і" (z-a) #

NB: Зауважте, що різниця між коренем і фактором полягає в тому, що:

- Корінь може бути # z = 1 + i #

Але відповідним фактором було б # z- (1 + i) #

Другий трюк полягає в тому, що факторинг #P (z) # ми повинні отримати щось на зразок цього:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Далі розгорніть фігурні дужки, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Далі прирівнюємо це до вихідного полінома #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Оскільки два поліноми однакові, то прирівнюємо коефіцієнти # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #і # z ^ 0 #(постійний термін) по обидві сторони,

Насправді, нам просто потрібно вибрати одне рівняння і вирішити його # a #

Прирівнюючи постійні терміни, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Звідси останній корінь #color (синій) (z = 1) #