Як ви пишете поліном з функцією мінімального ступеня в стандартній формі з реальними коефіцієнтами, чиї нулі включають -3,4 і 2-i?

Відповідь:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # с #aq у RR #.

Пояснення:

Дозволяє # P # бути поліномом, про який ви говорите. Я вважаю #P! = 0 # або це було б тривіально.

P має реальні коефіцієнти, тобто #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Це означає, що є інший корінь для P, #bar (2-i) = 2 + i #, отже, для цієї форми # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # с #a_j у NN #, #Q у RR X # і #a у RR # тому що ми хочемо # P # мати реальні коефіцієнти.

Ми хочемо ступеня # P # бути якомога менше. Якщо #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # потім #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = сума (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # тому #deg (Q)> = 0 #. Якщо ми хочемо # P # щоб мати найменшу можливу ступінь, то #deg (Q) = 0 # (# Q # - це лише реальне число # q #), отже #deg (P) = deg (R) # і тут можна навіть сказати #P = R #. #deg (P) # буде якомога менше, якщо кожен #a_j = 0 #. Тому #deg (P) = 4 #.

Отже, зараз #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Давайте розвинемо це.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) у RR X #. Таким чином, цей вираз найкращий # P # ми можемо знайти з тими умовами!