Напишіть спрощене квартичне рівняння з цілими коефіцієнтами і позитивними провідними коефіцієнтами, наскільки це можливо, чиї єдині коріння становлять -1/3 і 0 і мають подвійний корінь, що дорівнює 0,4?

Відповідь:

# 75x ^ 4-35x ^ 3-8x ^ 2 + 4x = 0 #

Пояснення:

Ми маємо коріння:

# x = -1 / 3, 0, 2/5, 2/5 #

Ми можемо тоді сказати:

# x + 1/3 = 0, x = 0, x-2/5 = 0, x-2/5 = 0 #

І потім:

# (x + 1/3) (x) (x-2/5) (x-2/5) = 0 #

А тепер починається множення:

# (x ^ 2 + 1 / 3x) (x-2/5) (x-2/5) = 0 #

# (x ^ 2 + 1 / 3x) (x ^ 2-4 / 5x + 4/25) = 0 #

# x ^ 4 + 1 / 3x ^ 3-4 / 5x ^ 3-4 / 15x ^ 2 + 4 / 25x ^ 2 + 4 / 75x = 0 #

# 75x ^ 4 + 25x ^ 3-60x ^ 3-20x ^ 2 + 12x ^ 2 + 4x = 0 #

# 75x ^ 4-35x ^ 3-8x ^ 2 + 4x = 0 #

Що таке [5 (квадратний корінь з 5) + 3 (квадратний корінь з 7)] / [4 (квадратний корінь з 7) - 3 (квадратний корінь з 5)]?

(159 + 29sqrt (35)) / 47 колір (білий) ("XXXXXXXX"), якщо я не зробив арифметичних помилок (5 (sqrt (5)) + 3 (sqrt (7))) / (4 (sqrt) (7)) - 3 (sqrt (5)) Раціоналізуйте знаменник, помноживши на сполучений: = (5 (sqrt (5)) + 3 (sqrt (7))) / (4 (sqrt (7)) - 3 (sqrt (5))) xx (4 (sqrt (7)) + 3 (sqrt (5))) / (4 (sqrt (7)) + 3 (sqrt (5))) = (20sqrt (35) + 15 ((sqrt (5)) ^ 2) +12 ((sqrt (7)) ^ 2) + 9sqrt (35)) / (16 ((sqrt (7)) ^ 2) -9 ((sqrt (5)) ) ^ 2)) = (29sqrt (35) +15 (5) +12 (7)) / (16 (7) -9 (5)) = (29sqrt (35) + 75 + 84) / (112-45) ) = (159 + 29sqrt (35)) / 47

Що таке квадратний корінь 7 + квадратний корінь 7 ^ 2 + квадратний корінь 7 ^ 3 + квадратний корінь 7 ^ 4 + квадратний корінь 7 ^ 5?

Sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) Перше, що ми можемо зробити, це скасувати коріння тих, що мають парні повноваження. Оскільки: sqrt (x ^ 2) = x і sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 для будь-якого числа, ми можемо просто сказати, що sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) Тепер 7 ^ 3 можна переписати як 7 ^ 2 * 7, і що 7 ^ 2 може вийти з кореня! Те ж саме стосується і 7 ^ 5, але переписано як 7 ^ 4 * 7 sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49 + 49sqrt (7) Тепер покл

Як ви пишете поліном з функцією мінімального ступеня в стандартній формі з реальними коефіцієнтами, чиї нулі включають -3,4 і 2-i?

P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) з aq в RR. Нехай P - многочлен, про який ви говорите. Я припускаю, P! = 0 або це було б тривіально. P має реальні коефіцієнти, тому P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0. Це означає, що існує інший корінь для P, bar (2-i) = 2 + i, отже, ця форма для P: P ( X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q ( X) з a_j в NN, Q в RR [X] і a в RR, тому що ми хочемо, щоб P мав реальні коефіцієнти. Ми хочемо, щоб ступінь Р була якомога меншою. Якщо R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4), то deg ( P) = deg (R) + deg (Q