Довести sqrt (^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Відповідь:

У Пояснення

Пояснення:

На нормальній координатній площині ми маємо координати, подібні до (1,2) і (3,4), і такі речі. Можна повторно виразити ці координати n з точки зору радіусів і кутів. Отже, якщо у нас є точка (a, b), це означає, що ми переходимо до одиниць праворуч, b одиниць і #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # як відстань між початком і точкою (a, b). я подзвоню #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Так у нас є # re ^ arctan (б / а) #

Тепер, щоб закінчити цей доказ, згадаємо формулу.

# e ^ (itheta) = cos (тета) + isin (тета) #

Функція дугового засмаги дає мені кут тета.

Отже, ми маємо наступне рівняння:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Тепер давайте намалюємо правий трикутник.

Арктан (b / a) говорить мені, що b є протилежною стороною, а a - суміжною стороною. Отже, якщо я хочу cos арктану (b / a), ми використовуємо теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи. Гіпотенуза є #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Отже, cos (arctan (b / a)) = суміжний над гіпотенузою = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Найкраща частина цього полягає в тому, що цей принцип застосовується до синусів. Тому гріх (arctan (b / a)) = протилежний за гіпотенузи = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Так що тепер ми можемо повторно висловити свою відповідь так: #r * ((a / sqrt (^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Але пам'ятайте #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # тепер ми маємо: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Скасування r, і вам залишиться наступне: # a + bi #

Тому, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #