Чому доповнення квадрата корисним? + Приклад

Відповідь:

Для спрощення квадратичних виразів, щоб вони стали розв'язними з квадратними коренями.

Пояснення:

Завершення квадрата є прикладом трансформації Цирнхауса - використання заміни (хоча і неявно) для того, щоб звести рівняння полінома до більш простої форми.

Так дано:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # с #a! = 0 #

ми могли б написати:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (білий) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (білий) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (білий) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (білий) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (білий) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Звідси:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Тому:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Отже, починаючи з квадратичного рівняння у вигляді:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

ми отримали його у форму # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # с #t = (2ax + b) # і # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, усуваючи лінійний термін, залишаючи лише квадратичні умови.

До тих пір, поки ми раді розрахунку квадратних коренів, тепер можна вирішити будь-яке квадратичне рівняння.

Завершення квадрата також є корисним для отримання рівняння кола, еліпса або іншого конічного перетину в стандартну форму.

Наприклад, дано:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

завершуючи квадрат, знаходимо:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

дозволяючи ідентифікувати це рівняння, як таке коло з центром #(2, -3)# і радіус #5#.