Відповідь:
Рішення: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) #
Пояснення:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # або
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # або
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # або
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # або
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. Або
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 або (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # або
# cos (x / 2)! = 5/4 # з діапазону #cos x # є #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # або
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
Також #cos (-53,13) ~~ 3/5:. x = 53.13 * 2 ~ ~ 106.26 ^ 0 #
і # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Рішення: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) # Ans
Відповідь:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi quad # ціле число # k #
Пояснення:
Почнемо з підстановки # y = x / 2 # щоб позбутися від дробових кутів.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
Улюбленою формою косинусної подвійної кутової формули є
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
Підставляючи, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Це біль до фактора, але невеликий пошук приходить
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 або cos y = -5 / 4 #
Ми можемо ігнорувати косинус поза межами діапазону.
#cos y = 3/5 #
Ми можемо використовувати формулу подвійного кута:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Це піфагорійський трійка #7^2+24^2=25^2# так що ми можемо спробувати написати, як # arctan ( але це більше сторонніх коренів.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi quad # ціле число # k #
Перевірити:
Ми перевіримо пару з калькулятором.
# x = text {Arc} текст {cos} (- 7/25) приблизно 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 разів 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Додамо 360 і знову перевіримо:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # НЕ ПРАЦЮЄ.
Через половину кута, здається, правильна відповідь
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi quad # ціле число # k #
