Як я можу вирішити 2sinx = cos (x / 3)?

Відповідь:

Нашими приблизними рішеннями є:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, або -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

для цілого числа # k #.

Пояснення:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Це досить важко.

Почнемо з налаштування # y = x / 3 # тому # x = 3y # і заміщення. Тоді ми можемо використовувати формулу потрійного кута:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Давайте квадратний, щоб ми все писали з точки зору # sin ^ 2 y #. Це, швидше за все, призведе до сторонніх коренів.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Дозволяє # s = sin ^ 2 y #. Називаються квадратні синуси поширюється в раціональній тригонометрії.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 с + 16 с ^ 2) = 1 - с #

# 64 s ^ 3 - 96 с ^ 2 + 37 с - 1 = 0 #

Це кубічне рівняння з трьома справжніми коренями, кандидатами на квадратні синуси # 3x. # Ми могли б використати кубічну формулу, але це просто призведе до деяких кубічних коренів складних чисел, які не є особливо корисними. Давайте просто візьмемо числове рішення:

# s 0.66035 або s 0.029196 або s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Давайте працювати в градусах. Нашими потенційними приблизними рішеннями є:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) прибл. 163.058 ^ circ або 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) прибл. 29.5149 ^ circ або pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) прибл. 192.573 ^ circ або pm 732.573 ^ circ #

Давайте подивимося, чи працює якась з них. Дозволяє #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) близько 0.00001 квад # це рішення.

#e (-163.058 ^ circ) орієнтовно -1.17 quad # не є рішенням.

Зрозуміло не більше одного # t пара буде працювати.

Ще десять.

#e (703.058 ^ circ) близько 0.00001 кв.

#e (-703.058 ^ circ) quad # Немає

#e (29.5149 ^ circ) приблизно 10 ^ {- 6} квад.

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Немає

#e (569.51 ^ circ) приблизно 10 ^ {- 4} квад.

#e (-569.51 ^ circ) quad # Немає

#e (192.573 ^ circ) прибл. Немає

#e (-192.573 ^ circ) близько 0.00001 кв.

#e (732.573 ^ circ) прибл. Немає

#e (-732.573 ^ circ) близько 0.00001 квад.

Arcsin поставляється з # + 360 ^ circ k #, і фактор три робить це # 1080 ^ circ k. #

ОК, наші приблизні рішення:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # для цілого числа # k #.