Нехай V = R³ та W = {(x, y, z) x + y + z = 0} - це підпростір V. Які з наступних пар векторів знаходяться в одному і тому ж косеті W у V? (i) (1,3,2) і (2,2,2). (ii) (1,1,1) і (3,3,3).

Відповідь:

# #

# mbox {i)} (1,3,2) mbox {і} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {дійсно належать до того ж coset з} W. #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {і} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {не належать до одного і того ж coset з} W. #

Пояснення:

# #

# mbox {1) Зауважимо, що за заданим на} W, mbox {ми можемо описати} mbox {елементи} W mbox {як ці вектори} V. mbox {, де}} mbox {сума координат}}

# #

# mbox {2) Тепер нагадаємо, що:} #

# mbox {два вектори належать одному і тому ж добору будь-якого підпростору} #

qquad qquad qquad qquad

# qquad mbox {їхня різниця належить до самого підпростору}. #

# #

# mbox {3) Таким чином, щоб визначити членство в одному і тому ж coset з} W, mbox {є необхідним і достатнім, щоб визначити, чи}} mbox {різниця цих векторів належить}} W: #.

У {v_1}, {{v_2} в mbox {той же coset з}} w quad iff quad {{v_1} - {{v_2} |.

# #

# mbox {Звідси, за описом} W mbox {у (1) вище, у нас є:} #.

# {v_1}, {{v_2} в mbox {той же coset}} w quad iff quad mbox {сума координат}} {en_v_1} - {{v_2}) = 0 #.

# #

# mbox {Це питання простого обчислення.} #

# #

# 4) mbox {Виходячи з двох заданих пар векторів, і} mbox {виконання цього обчислення на кожній парі, знаходимо: #

# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {і так} #

# qquad qquad mbox {сума координат}} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Звідси:} qquad qquad (1,3,2) mbox {and} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad mquad {належать до того ж coset з} W. #

# #

# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {і так} #

# qquad qquad mbox {сума координат}} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Звідси:} qquad qquad (1,1,1) mbox {and} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {не належать до одного і того ж косету}}. #