Який периметр звичайного восьмикутника з радіусом довжиною 20?

Відповідь:

Це залежить:

Якщо внутрішній радіус є #20#, то периметр:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

Якщо є зовнішній радіус #20#, то периметр:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122,46 #

Пояснення:

Тут червоне коло оточує зовнішній радіус, а зелене - внутрішнє.

Дозволяє # r # бути зовнішнім радіусом - тобто радіусом червоного кола.

Тоді вершини восьмикутника центрируются на #(0, 0)# знаходяться в:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Довжина однієї сторони - відстань між ними # (r, 0) # і # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Таким чином, загальний периметр:

#color (червоний) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Отже, якщо є зовнішній радіус #20#, то периметр:

# 8 * 20 sqrt (2-зір (2)) = 160 кв. (2-кв (2)) ~~ 122,46 #

#color (білий) () #

Внутрішній радіус буде # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Тому #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Тоді загальний периметр є

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = колір (зелений) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Так що якщо внутрішній радіус є #20#, то периметр:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#color (білий) () #

Наскільки добре наближено # pi # це дає нам?

Поки ми тут, яке наближення # pi # ми отримуємо шляхом усереднення внутрішнього і зовнішнього радіусів?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3,1876 #

… так не велика.

Щоб отримати настільки гарне наближення, як #355/113 ~~ 3.1415929#Китайський математик Зу Чончжі використовував a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) односторонній багатокутник і лічильники стрижнів.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi