Одне додатне ціле число 3 менше, ніж двічі. Сума їхніх квадратів дорівнює 117. Які цілі числа?

Відповідь:

#9# і #6#

Пояснення:

Квадрати перших кількох натуральних чисел:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Єдині дві, сума яких #117# є #36# і #81#.

Вони відповідають умовам:

#color (синій) (6) * 2-3 = колір (синій) (9) #

і:

# color (синій) (6) ^ 2 + колір (синій) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Отже, ці два цілих числа #9# і #6#

Як ми могли б знайти їх більш формально?

Припустимо, що цілі числа є # m # і # n #, з:

#m = 2n-3 #

Потім:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Тому:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (білий) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (білий) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (білий) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (білий) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (білий) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (білий) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Звідси:

#n = 6 "" # або # "" n = -18 / 5 #

Нас цікавлять лише позитивні цілі рішення:

#n = 6 #

Потім:

#m = 2n-3 = 2 (колір (синій) (6)) - 3 = 9 #