Питання # dbd28

Відповідь:

Визначте відстань між графіком і точкою як функцію і знайдіть мінімум.

Справа в тому #(3.5,1.871)#

Пояснення:

Щоб дізнатися, наскільки вони близькі, потрібно знати відстань. Евклідова відстань:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

де Δx і Δy - відмінності між 2 точками. Для того, щоб бути найближчою точкою, ця точка повинна мати мінімальну відстань. Тому ми встановлюємо:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Тепер нам потрібно знайти мінімум цієї функції:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Знаменник завжди позитивний як функція квадратного кореня. Чисельник позитивний, коли:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Тому функція позитивна, коли #x> 3,5 #. Так само можна довести, що він негативний #x <3,5 # Тому функціонує #f (x) # має мінімум на # x = 3,5 #Це означає, що відстань є найменшою # x = 3,5 # Координата y # y = x ^ (1/2) # є:

# y = 3.5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

Нарешті, точка, де спостерігається найменша відстань від (4,0):

#(3.5,1.871)#