Що таке одиничний вектор, який є нормальним до площини, що містить (2i - 3 j + k) і (2i + j - 3k)?

Відповідь:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #

Пояснення:

Вектор, який є нормальним (ортогональним, перпендикулярним) до площини, що містить два вектори, також є нормальним для обох заданих векторів. Ми можемо знайти нормальний вектор, взявши хрестовий продукт двох заданих векторів. Потім ми можемо знайти одиничний вектор в тому ж напрямку, що й вектор.

Спочатку напишіть кожен вектор у векторній формі:

# veca = <2, -3,1> #

# vecb = <2,1, -3> #

Перехресний продукт, # vecaxxvecb # знайдено за:

# vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (2, -3,1), (2,1, -3)) #

Для i компонент, ми маємо:

#(-3*-3)-(1*1)=9-(1)=8#

Для j компонент, ми маємо:

#-(2*-3)-(2*1)=--6-2=8#

Для k компонент, ми маємо:

#(2*1)-(-3*2)=2-(-6)=8#

Тому, # vecn = <8,8,8> #

Тепер, щоб зробити це одиничним вектором, ми розділимо вектор на його величину. Величина задається:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((8) ^ 2 + (8) ^ 2 + (8) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (64 + 64 + 64) = sqrt (192) = 8sqrt3 #

Одиничний вектор потім задається:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<8,8,8>) / (8sqrt (3)) #

# vecu = <1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3))> #

Раціоналізуючи знаменник, отримуємо:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #