Як диференціювати f (x) = 2 ^ x?

Відповідь:

#f '(x) = 2 ^ xln (2) #

Пояснення:

#f (x) = y = 2 ^ x #

Візьміть натуральні колоди обох сторін:

#ln (y) = ln (2 ^ x) = xln (2) #

Нечітко диференціювати обидві сторони:

# 1 / y * (dy) / (dx) = ln (2) #

# (dy) / (dx) = yln (2) #

#y = 2 ^ x означає (dy) / (dx) = 2 ^ xln (2) #

Диференціювати з першого принципу x ^ 2sin (x)?

(df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) з визначення похідної і з деякими межами. Нехай f (x) = x ^ 2 sin (x). Тоді (df) / dx = lim_ {h 0} (f (x + h) - f (x)) / h = lim_ {h 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + lim_ {h 0} (x ^ 2sin) (h) cos (x)) / h + lim_ {h 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + lim_ {h (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h тригонометричною ідентичністю і деякими спрощеннями. На цих чотирьох останніх рядках ми маємо чотири терміни.

Диференціювати cos (x ^ 2 + 1), використовуючи перший принцип похідної?

-sin (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) Для цієї задачі необхідно використовувати правило ланцюга, а також те, що похідна cos (u) = -sin ( u). Правило ланцюга в основному просто стверджує, що ви можете спочатку вивести зовнішню функцію по відношенню до того, що знаходиться всередині функції, а потім помножити її на похідну функції, що знаходиться всередині функції. Формально dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, де u = x ^ 2 + 1. По-перше, треба виробити похідну біта всередині косинуса, а саме 2x. Потім, знайшовши похідну косинуса (негативного синуса), ми можемо просто помножити його на 2х. = -sin (x ^ 2 + 1) * 2x

Як диференціювати наступне параметричне рівняння: x (t) = t / (t-4), y (t) = 1 / (1-t ^ 2)?

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt [1] -1d / dt [1-t ^ 2]) / (1-t ^ 2) ^ 2 колір (білий) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 колір (білий) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ((t -4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 колір (білий) (x '(t)) = (t-4-t) / 4) ^ 2 колір (білий) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 -: - 4 / (т -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2) ) ^ 2) = - (t (t-4) ^