(X (P (x) Q (x)) xP (x) QxQ (x) x (P (x) (Q (x)) xP (x) xQ (x ). Будь ласка, допоможіть мені з першою заявою?

Щоб зрозуміти ці висловлювання, ми повинні спочатку зрозуміти, які позначення використовуються.

• # AA # - за всіх - Цей символ означає, що щось має місце для кожного прикладу в межах набору. Отже, коли ми додаємо змінну # x #, # AAx # означає, що деякі твердження застосовуються до всіх можливих значень або предметів, які ми можемо замінити # x #.

• #P (x), Q (x) # - пропозицію - Це логічні положення щодо # x #вони представляють висловлювання # x # які є правдивими або помилковими для будь-якого конкретного випадку # x #.

• # # - і - Цей символ дозволяє поєднувати декілька пропозицій. Об'єднаний результат є істинним, коли обидві пропозиції повертають true, і false у протилежному випадку.

• # # - або - Цей символ також дозволяє поєднання декількох пропозицій. Об'єднаний результат є помилковим, коли обидві пропозиції повертають помилково, а інакше - істинно.

• # # - якщо і тільки якщо - Цей символ також дозволяє поєднання декількох пропозицій. Об'єднаний результат є істинним, коли обидві пропозиції повертають одне і те ж значення істини для всіх # x #і в іншому випадку невірно.

Завдяки цьому ми можемо перекласти заяви. Перше твердження, безпосередньо сформульоване, буде звучати так: "Для всіх x, P від x і Q від x тоді і тільки тоді, коли для всіх x, P від x, і для всіх x, Q від x."

Деякі незначні доповнення та модифікації роблять його трохи більш зрозумілим.

"Для всіх x, P і Q істинні для x тоді і тільки тоді, коли P істинний для всіх x і Q істинний для всіх x."

Це твердження є тавтологією, тобто вона є істинною незалежно від того, що ми підставляємо для P або Q. Ми можемо показати це, продемонструвавши, що твердження перед має на увазі одне після неї, і навпаки.

Починаючи з попереднього твердження, ми маємо це для кожного # x #, #P (x) (Q (x) # правда. За нашим визначенням вище, це означає, що для кожного # x #, #P (x) # є істинним і #Q (x) # правда. Це означає, що для будь-якого # x #, #P (x) # вірно і для будь-якого # x #, #Q (x) # є істинним, що є твердженням, що з'являється після.

Якщо ми почнемо з твердження, що з'являється після, то знаємо, що для будь-якого # x #, #P (x) # вірно і для будь-якого # x #, #Q (x) # правда. Тоді для всіх # x #, #P (x) # і #Q (x) # і правда, і значення для всіх # x #, #P (x) (Q (x) # правда. Це доводить, що перше твердження завжди вірно.

Друге твердження помилкове. Не проходячи через весь процес, як описано вище, ми можемо просто показати, що дві пропозиції на будь-якій стороні не завжди мають однакову істинність. Наприклад, припустимо, що на половину всіх можливих # x #, #P (x) # є істинним і #Q (x) # є помилковим, а для іншої половини #Q (x) # є істинним і #P (x) # є помилковим.

У цьому випадку, як для всіх # x #, або #P (x) # або #Q (x) # правда, пропозиція #AAx (P (x) (Q (x)) # є істинним (див. опис вище). Але, тому що є значення для # x # для котрого #P (x) # є помилковим, пропозиція #AAxP (x) # є помилковим. Аналогічно #AAxQ (x) # також помилкове значення #AAxP (x) AAAxQ (x) # є помилковим.

Оскільки ці дві пропозиції мають різні цінності істини, очевидно, істинність одного не гарантує правду іншого, і, таким чином, об'єднання їх з призводить до нового положення, яке є хибним.