Яке приблизне значення sqrt {107}?

Відповідь:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Пояснення:

Зауважте, що:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# це точно #1/3# шляху між #100# і #121#.

Це:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Тому ми можемо лінійно інтерполювати між ними #10# і #11# знайти:

#sqrt (107) ~~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10.33 #

(До лінійно інтерполюють в даному прикладі варто наблизити криву параболи графіка # y = x ^ 2 # між ними #(10, 100)# і #(11, 121)# як пряма лінія)

Бонус

Для більшої точності ми можемо використовувати:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))) #

Введення # a = 31/3 # ми хочемо:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Потім:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …))) #

Отже, як перший крок покращення:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Якщо потрібно більше точності, використовуйте більше термінів:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10.34408043 #