Відповідь:
а)# x = 2 #
б) див. нижче
Пояснення:
а) Оскільки перші три терміни є #sqrt x-1 #, 1 і #sqrt x + 1 #, середній член, 1, повинен бути геометричним середнім двох інших. Звідси
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) означає #
# 1 = x-1 означає x = 2 #
б)
Загальний коефіцієнт - тоді #sqrt 2 + 1 #і перший термін #sqrt 2-1 #.
Таким чином, п'ятий термін є
# (sqrt 2-1) разів (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Відповідь:
Дивіться нижче.
Пояснення:
Враховуючи це, # rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # знаходяться в # GP #.
Тому, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# rarrx = 2 #
Перший термін # (a) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Другий термін # (b) = 1 #
Загальний коефіцієнт # (r) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
The # n ^ (th) # термін геометричної послідовності # (t_n) = a * r ^ (n-1) #
Тому, # t_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Відповідь:
# x = 2 і 5 ^ (th) "термін" = 7 + 5sqrt2 #.
Пояснення:
Для будь-який #3# послідовні терміни # a, b, c # a GP, ми маємо, # b ^ 2 = ac #.
Отже, у нашому випадку, # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
#, тобто 1 = x-1, або, x = 2 #.
С # x = 2 #, # 1 ^ (st) і 2 ^ (nd) # терміни GP під
посилання, # sqrtx-1 = sqrt2-1 і 1 #, resp.
Отже, загальний коефіцієнт # r = (2 ^ (nd) "термін) -:(1 ^ (st)" term) "#, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "термін = r (" 3 ^ (rd) "термін) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Далі, # (5 ^ (th) "термін) = r (" 4 ^ (th) термін "#, # = (sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "термін" = 7 + 5sqrt2 #.
