Сила, прикладена до об'єкта, що рухається горизонтально по лінійному шляху, описується F (x) = x ^ 2-3x + 3. Чи змінюється кінетична енергія об'єкта, коли об'єкт рухається з x в [0, 1]?

Відповідь:

Другий закон руху Ньютона:

# F = m * a #

Визначення прискорення і швидкості:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Кінетична енергія:

# K = m * u ^ 2/2 #

Відповідь:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Другий закон руху Ньютона:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Підставляючи # a = (du) / dt # не допомагає з рівнянням, оскільки # F # не дається як функція # t # але як функція # x # Однак:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Але # (dx) / dt = u # тому:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Підставляючи в рівняння, що маємо, маємо диференціальне рівняння:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Дві швидкості невідомі, але позиції # x # відомі. Також маса є постійною:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Але # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Примітка: одиниці є # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # тільки якщо дано відстань # (x у 0,1) # знаходяться в метрах.