Пара яскравих шестигранних кісток викидається вісім разів. Знайти ймовірність того, що оцінка більше 7 балів не більше п'яти разів?

Відповідь:

#~=0.9391#

Пояснення:

Перш ніж потрапити до самого питання, давайте поговоримо про метод його вирішення.

Скажімо, наприклад, що я хочу пояснити всі можливі результати від перевертання чесної монети тричі. Я можу отримати HHH, TTT, TTH і HHT.

Ймовірність H є #1/2# і ймовірність для Т також #1/2#.

Для HHH і для TTT, тобто # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # кожен.

Для TTH і HHT це також # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # кожний, але так як є 3 способи я можу отримати кожен результат, це закінчується бути # 3xx1 / 8 = 3/8 # кожен.

Коли я підсумую ці результати, я отримую #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - це означає, що зараз у мене є всі можливі результати фліп монети.

Зверніть увагу, що якщо я встановлюю # H # бути # p # і тому мають # T # бути # ~ p #, а також помітимо, що ми маємо лінію з Трикутника Паскаля #(1,3,3,1)#, ми налаштували форму:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

і в цьому прикладі ми отримуємо:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Тепер ми можемо вирішити проблему.

Ми даємо кількість рулонів як 8, так # n = 8 #.

# p # є сума, що перевищує 7. Щоб знайти ймовірність отримання суми, що перевищує 7, розглянемо можливі рулони:

# ((колір (білий) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

З 36 можливостей, 15 рулонів дають суму, більшу 36, даючи ймовірність #15/36=5/12#.

С # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Ми можемо виписати всю суму можливостей - від того, щоб усі 8 рулонів були сумою, що перевищує 7, аби всі 8 рулонів були сумою 7 або менше:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

але ми зацікавлені у підведенні лише тих термінів, у яких наша сума, що перевищує 7, відбувається 5 разів або менше:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Відповідь:

#0.93906#

Пояснення:

# "So P результат> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "це відбувається k раз на 8 кидків" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(біноміальний розподіл)" #

# "з" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(комбінації)" #

#"Тому, "#

#P "це відбувається не більше 5 разів на 8 кидків" #

# = 1 - P "це відбувається 6, 7 або 8 разів на 8 кидків" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#