Чи є точка (x, y) на кривій y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, при якій дотична паралельна осі x?

Відповідь:

Немає такого пункту, наскільки моя математика йде.

Пояснення:

Розглянемо спочатку умови дотичної, якщо вона паралельна # x #-аксіс. З тих пір # x #-Аксис горизонтальний, будь-яка паралельна йому лінія також повинна бути горизонтальною; отже випливає, що дотична лінія є горизонтальною. І, звичайно, горизонтальні дотичні відбуваються, коли похідна дорівнює #0#.

Отже, спочатку треба починати з пошуку похідної цього жахливого рівняння, яке можна здійснити через неявну диференціацію:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Використовуючи правило суми, правило ланцюга, правило продукту, правило частки та алгебру, маємо:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Вау … це було напружено. Тепер задаємо похідну рівну #0# і подивитися, що відбувається.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Цікаво. Тепер включимося # y = -1 # і подивіться, що ми отримуємо # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Оскільки це протиріччя, ми робимо висновок, що не існує точок, які б відповідали цьому умові.

Відповідь:

Не існує такої дотичної.

Пояснення:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Тепер виклик #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # ми маємо

#df = f_x dx + f_y dy = (частковий u) / (частковий x) dx + (частковий v) / (частковий y) dy = 0 # потім

# dy / dx = - ((часткова u) / (часткова x)) / ((часткова v) / (часткова y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Ми бачимо це # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # але ці значення повинні підтверджувати:

#f (x, y_0) = 0 # і

#f (x_0, y) = 0 #

У першому випадку, # y_0 = 1 # ми маємо

# x ^ x = -1 # що неможливо досягти в реальному домені.

У другому випадку, # x_0 = e ^ {- 1} # ми маємо

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # або

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

але

# y / (y + 1) log_e y> -1 так що ніякого реального рішення теж.

Завершуючи, немає такої дотичної.

Відповідь:

Відповідь від Dr, Cawa K, x = 1 / e, точна.

Пояснення:

Я запропонував це питання, щоб точно отримати це значення. Завдяки

Доктор, Кавас за вирішальну відповідь, що затверджує це одкровення

подвійна точність y 'залишається 0 навколо цього інтервалу. y є

безперервний і диференційований при x = 1 / e. Як обидва 17-sd подвійні

точність y і y 'дорівнюють 0, в цьому інтервалі навколо x = 1 / e - a

гіпотеза, що вісь x стосується графа між ними. А тепер це

доведено. Я думаю, що дотик трансцендентний..