Що таке рівняння нормальної лінії f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x при x = 7?

Відповідь:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Пояснення:

Нормальна лінія в точці - це лінія, перпендикулярна дотичній лінії в цій точці. Коли ми вирішуємо задачі цього типу, то знаходимо нахил дотичної лінії, використовуючи похідну, використовуючи її для знаходження нахилу нормальної лінії, і використовуємо точку з функції, щоб знайти нормальне рівняння лінії.

Крок 1: Нахил дотичної лінії

Все, що ми робимо тут, беремо похідну функції і оцінюємо її # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Це означає нахил дотичної лінії в # x = 7 # є -532.

Крок 2: Нахил нормальної лінії

Нахил нормальної лінії - це просто протилежна інверсія нахилу дотичної лінії (тому що ці два - перпендикулярні). Отже, ми просто перевернемо -532 і зробимо це позитивним #1/532# як нахил нормальної лінії.

Заключний крок: пошук рівняння

Звичайні рівняння лінії мають форму # y = mx + b #, де # y # і # x # точки на лінії, # m # є нахил, і # b # є # y #-перехоплення. У нас є схил, # m #, що ми знайшли в другому кроці: #1/532#. Точки # x # і # y # можна легко знайти, замінивши # x = 7 # в рівняння і вирішення для # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Тепер ми можемо використовувати всю цю інформацію для пошуку # b #, # y #-перехоплення:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Ми можемо орієнтувати це на -2009.013, або, якщо ми дійсно хотіли, ми можемо наблизити його теж -2009.

Таким чином, рівняння нормальної лінії # y = 1 / 532x-2009.013 #.