Як відрізняється тригонометрична підстановка від заміщення u?

Відповідь:

Взагалі, для інтегралів форми використовується тригерне заміщення # x ^ 2 + -a ^ 2 # або #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, поки # u #-заміщення використовується, коли функція і її похідна з'являються в інтегралі.

Пояснення:

Я вважаю, що обидва типи заміни дуже цікаві через міркування за ними. Подумайте, по-перше, про заміну тригерів. Це випливає з теореми Піфагора і піфагорейських ідентичностей, можливо, двох найважливіших понять в тригонометрії. Ми використовуємо це, якщо маємо щось подібне:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # де # a # є постійним

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # знову припускаючи # a # є постійним

Ми бачимо, що ці дві виглядають жахливо # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, що є теоремою Піфагора. Він пов'язує дві сторони прямокутного трикутника з гіпотенузою трикутника. Якщо ми це зробимо, ми бачимо, що так, # x ^ 2 + a ^ 2 # може бути представлений трикутником:

Картина дуже корисна, тому що вона розповідає нам # tantheta = x / a #або # atantheta = x #; це є основою заміни тригерів. Крім того, (і це, де це стає дивним), коли ви підміняєте # x = tantheta # в # x ^ 2 + a ^ 2 #Ви опиняєтеся в піфагорійській ідентичності # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Потім можна зробити деякі спрощення # sec ^ 2theta # якщо вам потрібно, і інтеграл легко вийде. Те ж саме стосується і справ # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, і #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Ви можете використовувати трикутник. для великої кількості проблем, але ви можете використовувати # u #-заміщення, можливо, ще більше. Ми використовуємо цю техніку, коли маємо щось подібне # intlnx / xdx #. Якщо ми спостерігаємо, то бачимо, що ми маємо дві функції - # lnx # і # 1 / x #. І якщо ми пам'ятаємо наші основні похідні, то знаємо # d / dxlnx = 1 / x # для #x> 0 # (або # d / dxlnabs (x) = 1 / x # для #x! = 0 #). Таким чином, ідея полягає в тому, щоб сказати, нехай # u = lnx #; потім # (du) / dx = 1 / x # і # du = dx / x #. Проблема, після внесення цих замін, спрощується # intudu # - набагато легше інтеграла, ніж раніше.

Хоча ці дві методики можуть бути різними, обидва вони служать одній і тій самій меті: звести інтеграл до більш простої форми, щоб ми могли використовувати основні методи. Я впевнений, що мого пояснення не достатньо, щоб включити всі конкретні подробиці про ці заміни, тому я запрошую інших до участі.