Сума квадрата двох послідовних чисел становить 390. Як ви сформулюєте квадратичне рівняння для знаходження двох чисел?

Сума квадрата двох послідовних чисел становить 390. Як ви сформулюєте квадратичне рівняння для знаходження двох чисел?
Anonim

Відповідь:

Квадратичне було б # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Це не має цілочисельних рішень.

Також не є сума квадратів будь-яких двох цілих чисел, рівних #390#.

Сума квадратів двох гаусівських чисел може бути 390.

Пояснення:

Якщо менша з двох чисел # n #, то тим більше # n + 1 # і сума їхніх квадратів:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Отже, квадратичне рівняння, яке ми хочемо вирішити, це:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

або, якщо бажаєте:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Зауважте, що для будь-якого цілого числа # n # сума # 2n ^ 2 + 2n + 1 # буде непарним, тому це неможливо #390# бути сумою квадратів двох послідовних цілих чисел.

Чи може він бути виражений як сума квадратів будь-яких двох цілих чисел?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# не квадратний

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# не квадратний

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# не квадратний

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# не квадратний

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# не квадратний

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# не квадратний

Ні - якщо ми підемо далі, то велика частина після вирахування площі не буде однією з тих, які ми вже перевірили.

#color (білий) () #

Комплексна виноска

Чи є пара гаусівських цілих чисел, сума яких є квадратною #390#?

Так.

Припустимо, що ми можемо знайти ціле Gaussian # m + ni #, реальною частиною якої є квадрат #195#. Тоді сума квадрата цього гаусівського цілого числа і квадрата його складного спряженого стану буде рішенням.

Ми знайшли:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2 -n ^ 2) + 2mni #

Тому ми хочемо знайти цілі числа #m, n # такий, що # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Добре:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Тому ми знаходимо:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Інше рішення, що виходить з того, що кожним непарним числом є різниця квадратів двох послідовних чисел, це:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #