Довжина струни 20 см розрізається на дві частини. Одна з частин використовується для формування периметра квадрата?

Відповідь:

# "Мінімальна загальна площа = 10,175 см²".

# "Максимальна загальна площа = 25 см²".

Пояснення:

# "Назва x довжина шматка для формування квадрата".

# "Тоді площа квадрата" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Периметр трикутника -" 20-x "." #

# "Якщо y - одна з сторін трикутника, то ми маємо" # "

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20 x

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => область = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Загальна площа =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Це парабола і мінімум для параболи" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "є" x = -b / (2 * a) ", якщо a> 0." #

# "Максимум" x-> oo ", якщо a> 0." #

# "Так мінімум" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 кв. (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "см" #

# => "Загальна площа =" 10.175 "см²" #

# "Максимум - це x = 0 або x = 20".

# "Ми перевіряємо область:" #

# "Коли" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17,157 "см²" #

# "Коли" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Таким чином, максимальна загальна площа 25 см²".

Відповідь:

Мінімальна площа #10.1756# і максимум #25#

Пояснення:

Периметр правого кутового рівнобедреного трикутника збоку # a # є # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # і його площа # a ^ 2/2 #,

Нехай один шматок буде # x # см. з якого ми утворюємо прямокутний трикутник. Очевидно, що сторона правого кутового рівнобедреного трикутника буде # x / (2 + sqrt2) # і його площа буде

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Периметром іншої частини струни, що утворює квадрат, є # (20-x) # і як бік квадрата # (20-x) / 4 # його територія # (20-x) ^ 2/16 # і загальна площа # T # з двох

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Дотримуйтесь цього # 3-2sqrt2> 0 #, отже, коефіцієнт # x ^ 2 # є позитивним і тому ми будемо мати мінімуми і ми можемо написати # T # як

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Як # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # завжди позитивна, ми маємо мінімальне значення # T # коли # x = 11.8596 #.

Зауважте, що теоретично немає максимумів для функції, але як значення # x # лежить між ними #0,20#, і коли # x = 0 #, ми маємо # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

і коли # x = 20 # коли # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

і, отже, максимум #25#

графік {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}