Без графіки, як ви вирішуєте, чи має наступна система лінійних рівнянь одне рішення, нескінченно багато рішень або немає рішення?

Відповідь:

Система Росії # N # лінійні рівняння з # N # невідомі змінні, які не містять лінійної залежності між рівняннями (іншими словами, її визначник є ненульовим) буде мати одне і тільки одне рішення.

Пояснення:

Розглянемо систему з двох лінійних рівнянь з двома невідомими змінними:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Якщо пара # (A, B) # не пропорційно парі # (D, E) # (тобто такого номера немає # k # що # D = kA # і # E = kB #, які можна перевірити за умовами # A * E-B * D! = 0 #) тоді є одне і тільки одне рішення:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Приклад:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3

Рішення:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Якщо пара # (A, B) # пропорційно парі # (D, E) # (що означає, що є така кількість # k # що # D = kA # і # E = kB #, яку можна перевірити за умовою # A * E-B * D = 0 #), є два випадки:

(а) нескінченне число рішень, якщо # C # і # F # пропорційні з таким же коефіцієнтом, як # A # і # D #, це # F = kC #, де # k # є однаковим коефіцієнтом пропорційності;

Приклад:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Тут # k = 2 # для всіх пар: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Друге рівняння є тривіальним наслідком першого (просто помножте перше рівняння на #2#) і, отже, не надає додаткової інформації про невідомих, зменшуючи число рівнянь, ефективно, до 1.

(b) взагалі ніяких рішень, якщо #F! = KC #

Приклад:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

У цьому випадку рівняння суперечать один одному, оскільки, множивши першу на 2, виводимо до рівняння # 2x + 8y = 6 #, які не можуть мати спільного рішення # 2x + 8y = 5 # оскільки ліві частини цих двох рівнянь рівні, але правих частин немає.