Як вирішити 3 / (z ^ 2-z-2) + 18 / (z ^ 2-2z-3) = (z + 21) / (z ^ 2-z-2) і перевірити на сторонні розчини?

Відповідь:

# z = -3 #

Or

# z = 6 #

Пояснення:

# 3 / (z ^ 2-z-2) + 18 / (z ^ 2-2z-3) = (z + 21) / (z ^ 2-z-2) #

# rArr3 / (z ^ 2-z-2) + 18 / (z ^ 2-2z-3) - (z + 21) / (z ^ 2-z-2) = 0 #

Для вирішення цього рівняння необхідно знайти спільний знаменник, тому ми повинні факторизувати знаменники фракцій вище.

Давайте розберемо фактори #color (синій) (z ^ 2-z-2) # і #color (червоний) (z ^ 2-2z-3) #

За допомогою цього методу можна факторизувати # X ^ 2 + колір (коричневий) SX + колір (коричневий) P #

де #color (коричневий) S # є сумою двох дійсних чисел # a # і # b #

і

#color (коричневий) P # є їх продуктом

# X ^ 2 + колір (коричневий) SX + колір (коричневий) P = (X + a) (X + b) #

#color (синій) (z ^ 2-z-2) #

Ось,# color (коричневий) S = -1 і колір (коричневий) P = -2 #

тому, # a = -2 і b = + 1 #

Таким чином, #color (синій) (z ^ 2-z-2 = (z-2) (z + 1) #

Факторизація #color (червоний) (z ^ 2-2z-3) #

Ось,# color (коричневий) S = -2 і колір (коричневий) P = -3

тому, # a = -3 і b = + 1 #

Таким чином, #color (червоний) (z ^ 2-2z-3 = (z-3) (z + 1) #

почнемо вирішувати рівняння:

# 3 / колір (синій) (z ^ 2-z-2) + 18 / колір (червоний) (z ^ 2-2z-3) - (z + 21) / колір (синій) (z ^ 2-z- 2) = 0 #

# rArr3 / колір (синій) ((z-2) (z + 1)) + 18 / колір (червоний) ((z-3) (z + 1)) - (z + 21) / колір (синій) ((z-2) (z + 1)) = 0 #

#rArr (3 (колір (червоний) (z-3)) + 18 (колір (синій) (z-2)) - (z + 21) (колір (червоний) (z-3))) / ((z -2) (z-3) (z + 1)) = 0 #

#rArr (3z-9 + 18z-36- (z ^ 2-3z + 21z-63)) / ((z-2) (z-3) (z + 1)) = 0 #

#rArr (3z-9 + 18z-36- (z ^ 2 + 18z-63)) / ((z-2) (z-3) (z + 1)) = 0 #

#rArr (3z-9 + 18z-36-z ^ 2-18z + 63) / ((z-2) (z-3) (z + 1)) = 0 #

#rArr (3z-9cancel (+ 18z) -36-z ^ 2порушити (-18z) +63) / ((z-2) (z-3) (z + 1)) = 0 #

#rArr (-z ^ 2 + 3z + 18) / ((z-2) (z-3) (z + 1)) = 0 #

Як відомо, фракція #color (помаранчевий) (m / n = 0rArrm = 0) #

# -z ^ 2 + 3z + 18 = 0 #

#color (зелений) delta = (3) ^ 2-4 (-1) (18) = 9 + 72 = 81

Коріння:

# x_1 = (- 3 + sqrt81) / (2 (-1)) = (- 3 + 9) / (- 2) = - 3 #

# x_1 = (- 3-sqrt81) / (2 (-1)) = (- 3-9) / (- 2) = 6 #

# -z ^ 2 + 3z + 18 = 0 #

# (z + 3) (z-6) = 0 #

# z + 3 = 0rArrcolor (коричневий) (z = -3) #

Or

# z-6 = 0rArrcolor (коричневий) (z = 6) #