Найбільша сторона правого трикутника - ^ 2 + b ^ 2, а інша сторона - 2ab. Який стан стане найменшою стороною третьої сторони?

Відповідь:

Щоб третя сторона була найкоротшою, ми вимагаємо # (1 + sqrt2) | b |> absa> абсб # (і це # a # і # b # мати однаковий знак).

Пояснення:

Найдовша сторона правого трикутника - це завжди гіпотенуза. Тому ми знаємо довжину гіпотенузи # a ^ 2 + b ^ 2. #

Нехай невідома довжина сторони # c. # Тоді з теореми Піфагора ми знаємо

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

або

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (білий) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#color (білий) c = sqrt (^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (білий) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#color (білий) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Ми також вимагаємо, щоб всі довжини сторін були позитивними, тобто

• # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 або b! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => a, b> 0 або a, b <0 #

• # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> a ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> absa> absb #

Тепер, для будь-який трикутник, найдовша сторона обов'язково бути коротшим за сума з двох інших сторін. Тому ми маємо:

#color (білий) (=>) 2ab + "" c кольором (білий) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab колір (білий) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," якщо b> 0), (a <b "," якщо b <0):} #

Крім того, для того, щоб третя сторона була найменшою, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

або # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # або # a-b <sqrt2b # або #a <b (1 + sqrt2) #

Об'єднуючи всі ці обмеження, можна зробити висновок, що для того, щоб третя сторона була найкоротшою, ми повинні мати # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb і (a, b <0 або a, b> 0).