Відповідь:
#3#
Пояснення:
Дозволяє
# x = sqrt (7 + sqrt (7-квадр (7 + кв)
де ми обмежуємо наше рішення позитивним, оскільки приймаємо тільки позитивний квадратний корінь, тобто. #x> = 0 #. Розташування обох сторін у нас є
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-квадр (7 + кв. (7-квадр (7-кв. (7 + 2) …
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-квадр (7 + кв. (7-квадр (7-квадр (7 + 2) …
Де цей час ми обмежуємо ліву сторону, щоб бути позитивною, оскільки ми хочемо тільки позитивний квадратний корінь, тобто.
# x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
де ми усунули можливість того #x <= - sqrt (7) # використовуючи наше перше обмеження.
Знову стоять обидві сторони
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-кв. (7-кв. (7 + …).
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-квадр (7-квадр (7 + …).
Вираз у повторюваних квадратних коренях є вихідним виразом для # x #отже
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
або
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Пробними рішеннями цього рівняння є # x = -2 # і # x = + 3 # що призводить до наступної факторизації
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Використання квадратичної формули на третьому факторі # (x ^ 2 + x-7) = 0 # дає нам ще два коріння:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "і" -3.19 #
Тому чотири корені полінома #-3.19…, -2, 2.19…, # і #3#. Тільки одне з цих значень задовольняє наше обмеження #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #отже
# x = 3 #
Відповідь:
Інший спосіб
Пояснення:
Мені подобається обговорювати хитрий спосіб отримати рішення з першого погляду на проблему повторних квадратних коренів, подібних до наступного
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. оо #
де # r # належить до наступних серій
#3,7,13,21,31…………#, загальний термін якого дається
# m ^ 2-m + 1 # де # m epsilon N # і #m> 1 #
TRICK
Якщо 1 віднімається з даного номера # m ^ 2-m + 1 # отримане число стає # m ^ 2-m # який #m (m-1) # і що є нічим іншим, як продукт двох послідовних чисел і більше один з цих двох буде унікальним рішенням проблеми.
при r = # m ^ 2-m + 1 # фактор # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # m - відповідь
при r = 3 коефіцієнт (3-1) = 2 = 1.2 і 2 - відповідь
при r = 7 коефіцієнт (7-1) = 6 = 2.3 і 3 - відповідь
і так далі…….
Пояснення
Взяття
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. оо #
Обидві сторони
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. оо #
# x ^ 2 r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. оо #
Знову квадрату обох сторін
# (x ^ 2 r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. оо #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r + x = 0 #
покласти r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2 -m + 1)) ^ 2- (m ^ 2 -m + 1) + x = 0 #
якщо покласти x = m в LHS цього рівняння, то LHS стає
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2 -m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (скасувати (m ^ 2) - скасувати (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
рівняння задовольняється.
Отже, m є відповіддю
давайте
# x = sqrt (7 + sqrt (7- кв. (7 + кв.рт.ст.)
Ми можемо легко побачити це
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Отже, давайте розберемо рівняння:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Це не тривіальне рівняння, яке потрібно вирішити. Одна з інших осіб, які відповіли на запитання, посилалася на рішення 3. Якщо ви спробуєте, ви побачите, що це правда.
