Які є вертикальні і горизонтальні асимптоти y = (x + 3) / (x ^ 2-9)?

Відповідь:

Вертикальна асимптота на # x = 3 #

горизонтальна асимптота на # y = 0 #

отвір у # x = -3 #

Пояснення:

#y = (x + 3) / (x ^ 2-9) #

Перший фактор:

#y = ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) #

З фактором # x + 3 # скасовує, що це розрив або дірка, фактор # x-3 # не скасовує, тому це асимптота:

# x-3 = 0 #

Вертикальна асимптота на # x = 3 #

Тепер давайте скасуємо фактори і подивимося, які функції виконують, коли x стає дійсно великим у позитивному чи негативному:

#x -> + -oo, y ->? #

#y = cancel ((x + 3)) / (скасування ((x + 3)) (x-3)) = 1 / (x-3) #

Як ви можете бачити, зменшена форма - це просто #1# над деяким числом # x #, ми можемо ігнорувати #-3# тому що коли # x # величезний він незначний.

Ми знаємо, що: #x -> + - oo, 1 / x -> 0 # отже, наша оригінальна функція має таку ж поведінку:

#x -> + - oo, ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) -> 0 #

Тому функція має горизонтальну асимптоту на # y = 0 #

графік {y = (x + 3) / (x ^ 2-9) -10, 10, -5, 5}