Питання 059f6

Відповідь:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Пояснення:

Розробка Тейлора функції # f # в # a # є #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Майте на увазі, що це потужний ряд, тому він не обов'язково збігається # f # або навіть сходяться де-небудь ще, ніж у # x = a #.

Спочатку нам потрібні похідні # f # якщо ми хочемо спробувати написати справжню формулу свого ряду Тейлора.

Після обчислення і індукційного доказу, можна сказати, що #AAk в NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # і #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Тому після деяких грубих і малих спрощення, здається, що ряд Тейлора Росії # f # є #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + сума (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k) +1) #.