Як би Ви визначили рівняння кола, яке проходить через точки D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Відповідь:

Підставляйте кожну точку рівнянню кола, розробляйте 3 рівняння і віднімайте ті, які мають щонайменше 1 загальну координату (# x # або # y #).

Відповідь:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Пояснення:

Рівняння кола:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Де #α# #β# є координатами центру кола.

Замініть кожну дану точку:

Точка D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Рівняння 1)

Точка E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Рівняння 2)

Точка F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Рівняння 3)

Субстративні рівняння #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Субстративні рівняння #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Тепер, коли #α# і #β# відомі, підставляйте їх у будь-яку з точок (будемо використовувати точку #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Отже, рівняння кола стає:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Відповідь:

Рівняння кола є # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Пояснення:

Спочатку потрібно знайти рівняння двох ліній, кожен з яких перпендикулярний сегментам, утвореним парою заданих точок і проходить через середину цієї пари точок.

Оскільки точки D і E (# x_D = x_E = -5) знаходяться в прямій, паралельній осі-Y (# x = 0 #) і точки Е і F (# y_E = y_F = 15 #) знаходяться в прямій, паралельній осі-X (# y = 0 #) зручно вибрати ці пари точок.

Рівняння лінії DE, де # x_D = x_E = -5

# x = -5 #

Рівняння лінії 1 перпендикулярно DE і проходить через середину #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

рядок 1# -> y = 5 #

Рівняння лінії EF, де # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Рівняння лінії 2 перпендикулярно EF і проходить через середину #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

рядок 2# -> x = 5 #

Об'єднання рівнянь рядків 1 і 2 (# y = 5 # і # x = 5 #) знаходимо центр кола, точка С

#C (5,5) #

Відстань між точкою С до будь-якої з цих точок дорівнює радіусу кола

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

У формулі рівняння кола:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #