Питання # f8e6c

Відповідь:

Висловіть його у вигляді геометричної серії, щоб знайти суму #12500/3#.

Пояснення:

Давайте висловимо це як суму:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

З #1.12=112/100=28/25#це еквівалент:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Використовуючи те, що # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, ми маємо:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Також, ми можемо витягнути #500# з знаку підсумовування, наприклад:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Добре, тепер що це? Добре, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # є те, що відомо як a геометричні серії. Геометричні ряди включають показник, який саме тут ми маємо. Дивовижна річ про геометричні серії, як це одна, що вони підсумовують до # r / (1-r) #, де # r # - загальний коефіцієнт; число, яке піднято до показника. В цьому випадку, # r # є #25/28#, оскільки #25/28# це те, що піднімається до експонента. (Примітка: # r # має бути між ними #-1# і #1#або ж серія не додає нічого.)

Тому сума цієї серії:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Ми тільки що виявили це #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, так що єдине, що залишилося - це помножити його на #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Ви можете дізнатися більше про геометричні серії тут (я закликаю вас дивитися всю серію Khan Academy на геометричні серії).