Як ви неявно диференціюєте y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Відповідь:

Використовуйте правила продукту і частки і зробіть багато нудної алгебри, щоб отримати # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Пояснення:

Почнемо з лівої сторони:

# y ^ 2 / x #

Для того, щоб взяти похідну від цього, нам потрібно використовувати правило частки:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Ми маємо # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # і # v = x-> v '= 1 #, тому:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2yyy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Тепер з правого боку:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Ми можемо використовувати правило суми і множення постійного правила, щоб розбити його на:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

Друге з них вимагатиме правила продукту:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

С # u = y-> u '= dy / dx # і # v = x ^ 2-> v '= 2x #. Тому:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Тепер наша проблема:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Можна додати # x ^ 2dy / dx # обом сторонам і фактор a # dy / dx # ізолювати його:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Я сподіваюся, що вам подобається алгебра, тому що це одна неприємна формула, яку потрібно спростити:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #

Як ви неявно диференціюєте 4 = y- (x-e ^ y) / (y-x)?

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) По-перше, ми повинні познайомитися з деякими правилами обчислення f (x) = 2x + 4 може диференціювати 2x і 4 окремо f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 Аналогічно можна диференціювати 4, y і - (xe ^ y) / (yx) окремо dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Відомо, що диференціювання констант dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Так само правило для диференціації y dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Нарешті, щоб диференціювати (xe ^ y) / (yx), ми повинні використовувати правило частки Нехай xe ^ y = u і нехай yx = v Факт

Як ви неявно диференціюєте 9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y-xy?

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2- yx) + y - xy Диференціювати по x. Похідна експоненти є сама по собі похідною експонента. Пам'ятайте, що всякий раз, коли ви диференціюєте щось, що містить y, правило ланцюга дає вам коефіцієнт y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y Тепер вирішуйте для y'. Ось початок: 0 = 2yy'e ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y '- xy'-y Отримати всі терміни з y 'на лівій стороні. -2yy'e ^ (y ^ 2-y-x) + y'

Як ви неявно диференціюєте 2 = xy-ysin ^ 2x-cos ^ 2xy ^ 2?

Використовуйте позначення Leibniz, і ви повинні бути добре. Для другого і третього термінів потрібно кілька разів застосовувати правило ланцюга.