Відомо, що рівняння bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 має один реальний корінь. Доведіть, що рівняння x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 не має реальних коренів.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Коріння для # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # є

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Коріння будуть спільними і реальними, якщо

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

або

# a = b # або #a = 5b #

Зараз вирішується

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # ми маємо

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Умовою для складних коренів є

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

тепер роблять #a = b # або #a = 5b # ми маємо

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Укладання, якщо # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # тоді збігаються реальні корені # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # буде мати складні корені.

Наводимо, що рівняння:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

має один реальний корінь, тому дискримінант цього рівняння дорівнює нулю:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #або # a = 5b #

Ми прагнемо показати рівняння:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

не має реальних коренів. Це вимагало б негативного дискримінанта. Дискримінант для цього рівняння:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

= a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

= a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

А тепер розглянемо два можливих випадки, що задовольняють першому рівнянню:

Випадок 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

= (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

= b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0

Випадок 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

= (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0

Отже, умови першого рівняння такі, що друге рівняння завжди має негативний дискримінант, і тому має комплексні корені (тобто немає реальних коренів), QED