Відповідь:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Пояснення:
Почніть з використання правила сума для інтегралів і розбиття їх на два окремих інтеграла:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Перший з цих міні-інтегралів вирішується за допомогою інтеграції за частинами:
Дозволяє # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Тепер використовуємо інтеграцію за формулами частин # intudv = uv-intvdu #, ми маємо:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Другий з них - це справа щодо правила зворотної потужності, в якому говориться:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Тому # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Тому, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (не забудьте додати постійну інтеграцію!)
Нам дається початковий стан #f (0) = 1 #, тому:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Здійснюючи цю остаточну заміну, отримуємо остаточне рішення
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
