Відповідь:
Починати з
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - сек (xy) #
Давайте замінимо секант косинусом.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Тепер візьмемо похідну wrt x на обидві сторони!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Похідна константи дорівнює нулю, а похідна лінійна!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Тепер використовуючи правило продукту тільки на перших двох термінах ми отримуємо!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Далі багато та багато Fun з правилом ланцюга! Дивитися останній термін!
(також виконуючи прості похідні x)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Деякі з цих деривативів, деривативи xy та деривативи cos (xy) також виконують правило продукту та правило ланцюга ще раз на останній частині останнього терміну.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Зачистіть трохи і закінчите всі похідні
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Тепер розділимо на термін з # dx / dy # і без
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Введіть все без # dy / dx # з одного боку, і збірки, як на інших
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Розділіть, хоча знайти # dy / dx #
# dy / dx = (y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Це було дуже довго!
Пояснення:
Ходили з дуже довгим поясненням з простим прикладом, оскільки неявна диференціація може бути складною, а правило ланцюга дуже дуже важливо.
Для вирішення цієї та три специфічних похідних функцій необхідно використовувати три правила BIG Calculus.
1) Лінійність похідної.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Правило продукту.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Найбільш важливим поняттям при неявному диференціації є
правило ланцюга. Для складних функцій, функцій інших функцій, #f (u (x)) # ми маємо, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Ви можете продовжувати йти з цим
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, та ввімкнення та ввімкнення. Примітка # dx / dx = 1 #.
Приклад: Якщо ви маєте функцію функції #f (u) # де # u # - це funuction # x #. тобто #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Тут #f (u) = sqrt (u) # і #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # нагадати # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2) #
Вирази для конкретних типів функцій.
А) Як прийняти похідну силових функцій, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
Б) Як прийняти похідну Росії # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- нудно?
В) Як прийняти похідну Росії # cos (x) # оскільки # sec (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - x x #
Ключ до неявної диференціації полягає у використанні ланцюгового правила, щоб взяти похідну wrt x of та функцію як x, так і y, як коло.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
